Vežbe 24

Vežbe ćete raditi u grupama po 2-3 (svaki red je jedan tim). Na taj način moći ćete da se međusobno dopunjujete dok rešavate probleme. Rešenja pišite ispod svakog zadatka. Ideja prilikom izrade zadataka jeste da potražite najelegantnije rešenje ako možete. Naravno, koristite Help. Opišite postupak u radu. Posle sačuvajte to što ste radili na USB.

Zadatak 1

Razmotrimo širenje epidemije gripa. Ovde je prikazana uprošćena verzija problema. Grip stiže u grad od 100 000 stanovnika. Normalno traje nedelju dana, ali može imati i komplikacije. Tokom epidemije razlikovaćemo više grupa ljudi:

a = Zdravi, imuni na grip 
b = Zdravi koji nisu imuni na grip 
c = Bolesni u prvoj fazi bolesti 
d = Bolesni u drugoj fazi bolesti 
e = Umrli od gripa

Na početku, od 100 000 ljudi, 30 000 je imuno na grip (vakcina ili prirodni imunitet), a 70 000 je podložno bolesti. Zbog jednostavnosti pretpostavimo da se promene dešavaju jednom nedeljno. Svake nedelje od ljudi iz kategorije b oboli 5%. Od obolelih nakon nedelju dana 95% ozdravi, a 5% dobije neku od komplikacija, od kojih nakon još nedelju dana 80% ozdravi, a 20% umre.

a) Napišite sistem diferencnih jednačina koje povezuju vrednosti a, ..., e u trenutku t+1 i trenutku t kao i vektor početnih uslova (vrednosti a, ...., e u trenutku 0). Ne zaboravite da u početku niko nije bolestan, a da su neki od njih imuni na boste, a drugi nisu.

b) Predstaviti ovaj sistem diferencnih jednačina u matričnoj formi (x == {a,b,c,d,e})

(Subscript[x, t+1])==A.(Subscript[x, t])

Uvesti i vektor početnih uslova (Subscript[x, 0])

c) Naći stanje posle nedelju dana

d) Naći stanje posle 10 nedelja

e) Koliko se ukupno očekuje umrlih posle 10 nedelja epidemije

Zadatak 2

Igrate Američki fudbal. CIlj je šutnete loptu sa najveće rastojanje sa koga možete da postignete gol. Probajte da nađete na internetu podatke o tome kojom brzinom igrači maksimalno šutiraju loptu kao i kakve su dimenzije gola (posebno visina prečke preko koje lopta mora da pređe. Ignorišite otpor vazduha. Ekplicitno objasnite kakve pretpostavke pravite. Možete zanemariti otpor vazduha.

Zadatak 3

Poznato je da inflacija p[t], očekivana inflacija ep[t] i stopa nezaposlenosti u[t] imaju sledeći empirijski ustanovljeni odnos

p[t]==(1/6)-3 u[t]+ep[t]

Pored toga, znamo da brzina promene očekivane inflacije i stope nezaposlenosti zadovoljavaju sledeći sistem diferencijalnih jednačina

ep'[t]==(3/4)(p[t]-ep[t])

u'[t]==-(1/2)(m-p[t])

Ovde je m realna stopa rasta novčane mase (real rate growth rate of money balances). Uzmite kao poznate očekivanu nflaciju i stopu nezaposlenosti u trenutku 0 (respektivno ep0 i u0).

a) Probajte da nađete rešenje u opštim brojevima ovog sistema (po ep i u).

b) Nađite parametre za m, ep0 i u0 za koje mislite da ima smisla, i onda predstavite grafički zavisnosti u, ep,  od vremena.

c) Za parametre iz b) nađite grafički  kako nezaposlenost zavisi od stope inflacije p, to jest nađite grafik u[ep].

Zadatak 4

Evolucija sistema data je sistemom jednačina

x'[t]==σ (y[t]-x[t])

y'[t]==r x[t]-y[t]-x[t]z[t]

z'[t]==x[t] y[t]-b z[t]

gde su parametri sistema σ=10; r=28 i b=8/3. Početne vrednosti x, y, i z koordinata su 5, 0 i 0 respektivno (u t=0). Naći, koristeći ParametricPlot3D, grafičku zavisnost x, y i z. To što ste dobili zovu se Lorenzovi atraktori u teoriji haosa. Takođe, naći položaj sistema, to jest koordinate x, y i z u trenutku t=5. Probajte da napravite Manipulate koji će prikazati animaciju u 3D kako se telo kreće u prostoru.