Vežbe 23

Vežbe ćete raditi u grupama po 2-3 (svaki red je jedan tim). Na taj način moći ćete da se međusobno dopunjujete dok rešavate probleme. Rešenja pišite ispod svakog zadatka. Ideja prilikom izrade zadataka jeste da potražite najelegantnije rešenje ako možete. Naravno, koristite Help. Opišite postupak u radu. Posle sačuvajte to što ste radili na USB.

Zadatak br 1

Pretpostavimo da tražnja za nekom robom (Subscript[Q, dt]) zavisi od cene te robe u ovom periodu, dok ponuda zavisi od cene u prethodna dva perioda, na sledeći način

(Subscript[Q, dt])==1-(Subscript[p, t]), (Subscript[Q, st])==0.1+0.65(Subscript[p, t-1])+0.3 (Subscript[p, t-2])

Cene robe u trenutku 0 i 1 su respektivno jednake 1 i 0.85. Ponuda u svako periodu vremena mora biti jednaka tražnji

a) Pokazati da cena zadovoljava diferencnu jednačinu drugog reda.

b) Naći evoluciju cene robe u prvih 30 perioda. Uraditi to, ako možete na dva načina, koristeći dinamičko programiranje i NestList.

c) Da li postoji tačka dugoročne ravnoteže i ako da, kolika je ta dugoročna ravnotežna cena (dovoljno je da pokažete konvergenciju numerički)

Zadatak br 2

Pretpostavimo da su tražnja i ponuda za nekom robom čija je cena u neprekidnom vremenu jednaka p[t] date jednačinama

(Subscript[Q, d])==40 - 2p[t]-2 p'[t]-p''[t]

(Subscript[Q, s])==-5 +3p[t]

Drugim rečima, tražnja ne zavisi samo od trenutnog nivoa cena nego i od brzine i ubrzanja promene cene. Poznato je da u trenutku 0

Clear[p];p[0]==12;p'[0]==1;

a) Naći cenu kao funkciju vremena u ovom modelu.

b) Naći stanje dugoročne ravnoteže. Da li je ravnotežna cena stabilna (održiva na dugi rok) ili ne?

Zadatak br 3

Pad bez otpora vazduha

Slobodni pad sa visine 1000 metara bez otpora vazduha. Pretpostavimo da je neko telo palo sa visine od 1000 metara. Nema otpora vazduha. Naći brzinu sa kojom biste udarili u tlo. Očekujem da dobijete rešenje korišćenjem diferencijalne jednačine za slobodni pad bez otpora vazduha

m y''[t]==-m g

Početna brzina je 0, a početna visina 1000 metara. Naći izraze za visinu y i brzinu v kao funkcije vremena. Naći brzinu u trenutku kada telo udari u zemlju (tada je y=0). Poznato je da je ubrzanje Zemljine teže 9.81 (m/(sek^2)).

Zadatak br 4

Šta bi se desilo ako postoji otpor vazduha? U tom slučaju jednačina kretanja bi bila:

m v'[t]==-m g+(1/2)ρ A ((v[t])^2)

Sila trenja usporava pad i proporcionalna je gustini vazduha (ρ), površini tela koje se pada (A) kao i kvadratu brzine sa kojom se telo kreće.

a) Ukoliko je početna visina y0 a brzina 0, naći izraz za visinu kao i brzinu u opštim brojevima za brzinu kao funkciju vremena (i drugih parametara sistema).

b) Skok sa padobranom

Pretpostavimo da smo skočili sa padobranom sa visine od 1000m. Gustina vazduha na nivou mora je ρ->1.225 kg/(m^3). Naravno, na visini od 1000 metara gustina vazduha bi bila manja, ali ćemo time radi jednostavnosti prenebregnuti. Pretpostavimo da je površina padobrana A->1.5 π (2.5^2) (m^2), kao i da je masa čoveka 80 kg. Za masu padobrana našao sam podatak da je negde oko 14 kg, i mora se dodati naravno na masu čoveka. Pokažite grafički kako izgleda zavisnost brzine od vremena. Kako se to razlikuje od slučaja kada nema otpora vazduha? Koja je brzina sa kojom ćete pasti na tlo (u km na čas)? Koliko dugo biste padali? Uporedite to sa slučajem kad nema otpora vazduha.

c) Razmotrimo sada neprijatnu situaciju da se padobran nije otvorio. I dalje bi postojao otpor vazduha. Ono što je sada drugačije jeste površina čoveka, koja bi bila, recimo, 
1.3 (m^2). Kako bi ste sada odgovorili na pitanja iz dela b?

d) Na osnovu svega, šta biste mogli da zaključite u vezi sa dobrim dizajnom padobrana (osim da treba da se otvori!)?