Vežbe 18

Vežbe ćete raditi u grupama po 2-3 (svaki red je jedan tim). Na taj način moći ćete da se međusobno dopunjujete dok rešavate probleme. Rešenja pišite ispod svakog zadatka. Ideja prilikom izrade zadataka jeste da potražite najelegantnije rešenje ako možete. Naravno, koristite Help. Opišite postupak u radu. Posle sačuvajte to što ste radili na USB.

Zadatak br 1

Na slici je grafik prvog izvoda funkcije.

Nađite grafik funkcije čiji je izvod prikazan crvenom linijom gore. Sve linije na tom grafiku su prave linije. Nazovimo tu funkciju f[x]. Jedan način da se definiše u WL takva funkcija jeste pomoću funkcije Piecewise, a da bismo nju definisali, moramo da nađemo jednačine pravih za svaki od 4 dela na krivoj. Onda integralimo numerički, slično kao u primeru na predavanju.

Zadatak br 2

Ukoliko želite da bezbrižno vozite autoputem brzinom 120 km/h, morate imati u vidu šta bi se desilo ukoliko bi iznenada kola ispred vas stala. Naći najmanje bezbedno rastojanje na kome treba da se držite ukoliko biste, ukoliko kočite, kočnice pravile konstantno usporenje od a=-14 m/(s^2) sve dok kola ne stanu.

Zadatak br 3

a. Razmotrimo tržište hartija od vrednosti u kome imamo 3 stanja kao i 3 hartije, a, b, i c.  sa novčanim tokovima.

cfa={2,4,-1};cfb={0,-1,3};cfc={-2,3,1};

Pokazati da je ovo tržište kompletno, odnosno da su ova 3 vektora linearno nezavisna, odnosno da je tržište, u finansijskom žargonu, kompletno.

b. Zašto nas zanima kompletno tržište? Zato što onda možemo svaku drugu hartija da replikujemo preko portfolija postojeće 3 hartije koje kompletiraju tržište. U tom slučaju, ukoliko znamo cene hartija a, b, i c, lako možemo da nađemo vrednosti svih drugih hartija.

Posebno je korisno replikovati Arrow-Debreu hartije za stanje 1, 2, i 3. To su hartije koje daju 1 evro samo u slučaju da se određeno stanje realizuje i ništa u drugim stanjima. U našem slučaju, postoje 3 AD hartije na respektivnim novčanim tokovima

cAD1={1,0,0};cAD2={0,1,0};cAD3={0,0,1};

Naći replikacione portfolije za sve 3 Arrow-Debreu hartije od vrednosti.

c. Pretpostavimo da znamo cene hartija a, b, i c danas i da su date vektorom cena:

p={pa,pb,pc}={1/2,1/3,1/4};

Naći cene Arrow-Debreu hartija u svakom od 3 stanja. Da li postoji mogućnost za arbitražu na ovom tržištu?

d. Pretpostavimo da na tržištu postoji hartija x koja daje sledeće novčane tokove:

e. Pretpostavimo da nas zanima da nađemo cenu kol opcije na akciju x iz prethodnog dela zadatka. Ova opcija daje pravo (ali ne i obavezu) da u trenutku 1 dobijemo akciju x po ceni od, recimo, k=4 (to je takozvana cena izvršenja). To pravo, koje je neka vrsta osiguranja, treba da kupimo danas. Kolika je fer cena takve opcije? Da bismo to odredili potrebno je prvo da nađemo novčane tokove od takve hartije a da onda dobijemo i sadašnju vrednost tih novčanih tokova. Izračunajmo to za stanje 1, na primer.

U tom slučaju, dobijamo nešto što vredi 7 evra za cenu od 4 evra, pa je novčani tok kol opcije jednak 7-4 = 3 evra u prvom stanju. Naći novčane tokove kol opcije u sva tri moguća stanja a onda odredi vrednost te opcije danas.

Rešenje

Zadatak br 4

a. Naći matricu kvadratne forme A takvu da je

3(y1^2)-y1 y2 +2 y2 y3 +(y2^2)+(y3^2)

isto što i

{y1,y2,y3}.A.{y1,y2,y3}//Simplify

b. Diskutovati znakovnu definisanost ove kvadratne forme. Šta iz toga sledi oko konkavnosti ili konveksnosti te funkcije.

c. Kakva transformacija koordinata bi dijagonalizovala ovu kvadratnu formu?