Vežbe 17 sa rešenjima

Vežbe ćete raditi u grupama po 2-3 (svaki red je jedan tim). Na taj način moći ćete da se međusobno dopunjujete dok rešavate probleme. Rešenja pišite ispod svakog zadatka. Ideja prilikom izrade zadataka jeste da potražite najelegantnije rešenje ako možete. Naravno, koristite Help. Opišite postupak u radu. Posle sačuvajte to što ste radili na USB.

Zadatak br 1

U izrazu

(((a+b))^4)-(((a-2 b))^3)

zamenite a sa 1+t  i b sa t-7, a onda predstavite taj izraz kao polinom po t. Koristeći Cases ili neki drugi metod dobiti monom proporcionalan (t^2). Najzad, u tako dobijenom izrazu izvući putem odgovarajuće transformacije, koeficijent uz (t^2).

Zadatak br 2

Vašem poznaniku potrebna je dugoročna pozajmica. Jedna mogućnost jeste da mu ponudite danas 3000 a da kroz 5 godina dobijete od njega 4000. Druga mogućnost je da mu ponudite 4000 danas a da kroz 10 godina dobijete 7000. Koristeći IRR odredite koji se od ove dve mogućnosti vama više isplati.

Takođe, uporedite ove projekte za različite vrednosti diskontnih stopa. Naime, treba da nađete, ukoliko postoje, diskontne stope za koje je povoljniji prvi projekat, one za koje je povoljniji drugi projekat, kao i one za koje ne biste izabrali ni jedan od ta dva projekta.

Zadatak br 3

Na košarkaškom terenu igraju basket jedan na jedan Duća i Džoni.

Duća nije preterano visok (176 cm), ali je brz. Prišao je na liniju za tri poena. Kada je podigao ruku da izbaci loptu iz skoka, podnožje lopte je bilo visini od 210 cm. Džoni je visok (195 cm) i sporiji, pa je u trenutku kada je Duća izbacivao loptu bio na udaljenosti ceo metar od njega i skočio je tako da su mu vrhovi prstiju bili na visini od 310 cm. Visina koša je 3.05 metara, a linija za trojku je 7.25 m.

Lopta je preletela tik iznad Džonijevih prstiju i završila u košu. Opisati jednačinom putanju lopte i prikazati je grafički. Radi jednostavnosti, pretpostaviti da je koordinatni početak u tački u kojoj je Duća u trenutku šuta. Putanja se može opisati opštom kvadratnom funkcijom tipa y =a + b x +c (x^2) gde je x rastojanje do koša po horizontali, a y visina na kojoj se nalazi lopta.

Zadatak br 4: Apsolutna averzija prema riziku ili izračunavanje zakrivljenosti funkcije korisnosti

U finansijskoj ekonomiji, odnos investora prema riziku iskazuje se pomoću takozvanih izvedenih funkcija korisnosti u[w]. Ovde je w bogatstvo investitora. Onda u[w] meri količinu satisfakcije investitora od strukture svog investicionog portfolija.

Prvi izvod funkcije u po w treba da bude uvek pozitivan pošto svako preferira više u odnosu na manje novca. Međutim, investitor koji želi da bude kompenzovan za rizik koji preuzima ima funkciju korisnosti sa negativnim drugim izvodom. Takve funkcije nazivaju se konkavnim. Što je funkcija zakrivljenija odnosno konkavnija, to investitor ima veću averziju prema riziku.

Apsolutni koeficijent averzije AKAR = - u''[w]/u'[w] meri tu averziju odnosno meri krivinu funkcije. Ukoliko je AKAR rastuća funkcija w, što je čovek bogatiji to će manje novca (u apsolutnom to jest dolarskom iznosu) ulagati u rizične hartije. U tom slučaju, sa porastom bogatstva sve manji iznos ćemo investirati u akcije a sve više držati oročeno u banci.

Sa druge strane, ako je AKAR opadajuća funkcija bogatstva, što smo bogatiji više ćemo para investirati u akcije a manje ostavljati da leže na oročenju (to deluje logično, zar ne). Najzad, ako AKAR ne zavisi od bogatstva, onda sa promenom bogatstva uvek investiramo isti iznos u rizičnu aktivu. Na primer, u tom slučaju i prosjak i Bill Gates bi investirali 10 dolara u rizičnu aktivu ako imaju takvu funkciju korisnosti.

a. Naći marginalnu korisnost i AKAR za svaku od sledećih funkcija korisnosti. Predstavite ove četiri funkcije grafički za različite vrednosti parametera. Ako znate kako, možete koristiti i Manipulate

{Log[w],((w^(1-γ))/(1-γ)),-((Exp[-α w])/α),w-k (w^2)/2}

b. Da li je za svaku od funkcija marginalna korisnost pozitivna za svaku vrednost parametra? Da li su sve 4 funkcije korisnosti konkavne za sve vrednosti parametara? Ako to nije slučaj, nađite pod kojim uslovima ovo nije zadovoljeno.

c. Koje od ovih funkcija korisnosti ima smisla koristiti za opis ponašanja investitora a koje imaju manje smisla u tom pogledu. Zašto?